Question

如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.

(1)求证：平面；

(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长.

Answer

(1)证明见解析；(2)存在，2.

【解析】

（1）根据题意,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.得平面的法向量,求得与法向量的数量积,即可证明平面;

（2）假设存在点满足题意,令表示出的坐标和点坐标.利用直线与平面所成角的正弦值为,可由向量的夹角运算求得的值,进而表示出求得即可.

（1）证明：设中点为.取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如下图所示:

则,,,,

,,

设平面的法向量为,

不妨设,

又,

.

,

又平面,

平面.

（2）设,,

,

,

又平面的一个法向量为,

,

,或,

当时,,,

当时,,,

综上.