Question

定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”.例如：因为，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：

（1）数列1，2，p，4是“等和数列”，求实数p的值；

（2）项数为的等差数列的前n项和为，，求证：是“等和数列”.

（3）是公比为q项数为的等比数列，其中且恒成立.判断是不是“等和数列”，并证明你的结论.

Answer

（1）或或 （2）证明见解析 （3）不是“等和数列”，证明见解析

【解析】

（1）对令分别计算，得到答案.
（2）由，得，若是“等和数列，存在k使得，即.分和进行讨论即可.
（3）假设是“等和数列”, 则存在且，使得成立, 即,
由会得到矛盾，从而判断处结论.

（1）若，即，则.

若，即，则.

若，即，则.

所以或或

（2）证明方法一：，所以.

假设存在k使得数列的前k项和与剩下项的和相等，即，所以.

，，

即.

当时，，对任意都有，，即，

所以此时是“等和数列”；

当时，，，此时或（舍去）.
即存在且，使得成立，所以此时是“等和数列”.

由上得：是“等和数列”

证明方法二：设公差为d，

，，

同理：，，

于是，同理，

，即，，，成等差数列，

所以，因为，
所以，即存在，使得，所以是“等和数列”

（3）不是“等和数列”

证明方法一：设为的前n项和

反证法：假设结论不成立，即是“等和数列”，

则存在且，使得成立，即，

于是成立，即

时，，，即，所以，
所以，与产生矛盾.所以假设不成立，即不是“等和数列”.

证明方法二：反证法：假设结论不成立，即是“等和数列”，

则存在且，使得成立，即.

于是成立，即得到，
这里，得产生矛盾.所以假设不成立，即不是“等和数列”.

证明方法三：先证该数列满足：设为前n项和，则对任意都有成立.

证明：，

因为，所以，，，

所以，所以恒成立.

由此得：对任意且，，即，

所以不存在且，使得成立，

即不是“等和数列”.