Question

定义：如果存在实常数a和b，使得函数总满足，我们称这样的函数是“型函数”.请解答以下问题：

（1）已知函数是“型函数”，求p和b的值；

（2）已知函数是“型函数”，求一组满足条件的k、m和a的值，并说明理由.

（3）已知函数是一个“型函数”，且，是增函数，若是在区间上的图像上的点，求点M随着变化可能到达的区域的面积的大小，并证明你的结论.

Answer

（1） （2），，，理由见解析 （3）M点在不等式（时等号不成立）所表示的区域内，面积为4，证明见解析

【解析】

(1)由函数是“型函数”，则有，将函数表达式代入可求出的值.
(2)先证明的图像是关于对称的，然后根据是“型函数”求出一组满足条件的k、m和a的值即可.
(3)由函数是一个“型函数”，且，是增函数，可得M点在不等式（时等号不成立）所表示的区域内，在证明其充要性.

（1）【解析】
，

所以，即

（2）【解析】
设

注意到的图像是轴对称图形，的对称轴是，证明如下，

因为，
即；

，
于是，，此时.

（3）【解析】
M点在不等式（时等号不成立）所表示的区域内；

所以在的面积为

下面证明：

M点在不等式（时等号不成立）所表示的区域内；

，，时，，满足

由单调递增，得到时；当时.

当时，，所以，所以，

此时，，所以满足

当时，，所以，所以

此时，，所以满足

即M点在不等式（时等号不成立）所表示的区域内

（B）证明：M点可为（时等号不成立）所表示的区域内任意点.

存在函数，此时，

其中，此时是增函数，并满足.

让k在区间变化，图像充满（时等号不成立）所在区域

由A、B得：M运动区域是（时等号不成立）所在区域.