Question

已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）求的最小值.

Answer

(Ⅰ) (Ⅱ)2

【解析】

（Ⅰ）由椭圆求得右焦点，根据抛物线的焦点求出p的值，再写出抛物线C的标准方程；

（Ⅱ）①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，求得2；②当动弦AB所在的直线斜率存在时，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|AB|；写出FM所在的直线方程，与抛物线方程联立求出弦长|MF|，再求的最小值，从而得出结论．

（Ⅰ）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为

∴抛物线的焦点为，∴，抛物线的标准方程为.

（Ⅱ）①当动弦所在直线的斜率不存在时，易得：

，，.

②当动弦所在的直线斜率存在时，易知，的斜率不为0.

设所在直线方程为，且，.

联立方程组：，得；

，，，

所在的直线方程为，联立方程组：，得点，

∴

∴，

综上所述：的最小值为2.