Question

已知函数f(x)＝x²＋(x－1)|x－a|.

(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；

(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）{x|x≤－1或x＝1}；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）把代入函数解析式，分段后分段求解方程的解集，取并集后得答案；（2）分段写出函数的解析式，由在上单调递增，则需第一段二次函数的对称轴小于等于，第二段一次函数的一次项系数大于0，且第二段函数的最大值小于等于第一段函数的最小值，联立不等式组后求解的取值范围；（3）把不等式对一切实数恒成立转化为函数对一切实数恒成立，然后对进行分类讨论，利用函数单调性求得的范围，取并集后得答案.

试题解析：(1)当时，，则；当时，由，得，解得或；当时，恒成立，∴方程的解集为或．

(2)由题意知，若在R上单调递增，则解得，∴实数的取值范围为.

(3)设，则，不等式对任意恒成立，等价于不等式对任意恒成立．

①若，则，即，取，此时，∴，即对任意的，总能找到，使得，∴不存在，使得恒成立．

②若，则，∴的值域为，∴恒成立③若，当时，单调递减，其值域为，由于，所以恒成立，当时，由，知，在处取得最小值，令，得，又，∴，综上，．