Question

已知椭圆的方程是，圆的方程是，直线与圆相切，与椭圆相交于不同的两点和，求的最大值.

Answer

2

【解析】

讨论直线l与y轴垂直，求得A，B的坐标，可得弦长；再由直线l不垂直于y轴时，设直线l的方程为，求得O到直线l的距离，联立椭圆方程可得y的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合基本不等式即可得到所求最大值．

当直线l垂直于y轴时，由直线l与圆O：相切，

可知直线l的方程为y＝±1，

联立，得，

联立，得，

∴；

当直线l不垂直于y轴时，设直线l的方程为,

由直线l与圆O：相切，得＝1，即，

将代入，整理得

设,

则有，，

•

当且仅当时等号成立，即时，|AB|取得最大值2．

综上可得的最大值为2．