Question

已知三棱锥的体积为1.在侧棱上取一点，使，然后在上取一点，使，继续在上取一点，使，……按上述步骤，依次得到点，记三棱锥的体积依次构成数列，数列的前项和.

（1）求数列和的通项公式；

（2）记，为数列的前项和，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）．；（2）．

【解析】

（1）由三棱锥的体积公式可得是等比数列，从而可求得其通项公式，利用可求得，但要注意；

（2）用错位相减法求得，化简不等式，分离参数，转化为求函数的最值．

（1）由题意，∴，

三棱锥的体积就是三棱锥的体积，它们都以为底面，因此它们的体积比等于它们高的比，即到平面的距离之比，又都在直线上，

所以点到平面的距离之比就等于棱长的比，

∴，，，

∴．

，则，

时，，也适合．

∴．

（2）由（1），

，

，

两式相减得：

，

∴．

不等式为，即，

设，

则

，

∴当时，递增，当，递减，是中的最大项，．

不等式对恒成立，

则，∴或．

故的范围是．