Question

已知复数z满足|z|=的虚部为2，z所对应的点在第一象限，

(1)求z; 

(2)若z,z²,z-z²在复平面上对应的点分别为A,B,C,求cos∠ABC.

Answer

(1) z=1+i.

(2)

【解析】

（1）设z=x+yi(x,y∈R)，根据题意得到x,y的方程组，即得z.(2)先求z,z2,z-z2在复平面上对应的点，再利用向量的夹角公式求cos∠ABC.

(1)设z=x+yi(x,y∈R).

∵|z|

∴x2+y2=2. ①

又z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,

∴2xy=2,∴xy=1. ②

由①②可

∴z=1+i或z=-1-i.

又x>0,y>0,

∴z=1+i.

(2)z2=(1+i)2=2i,

z-z2=1+i-2i=1-i.

如图所示,

∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

∴cos∠ABC