Question

如图，在四棱锥中，点是底面对角线上一点，，是边长为的正三角形，，.

（1）证明：平面.

（2）若四边形为平行四边形，求四棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取线段的中点，连接，，证得平面，得到，再由，得到，即可证得平面；

（2）由（1）可知，，得到是边长为2的正三角形，求得和，进入利用体积公式，即可求解.

（1）取线段的中点，连接，，

由条件知，，从而平面，

又平面，所以.

因为，线段的中点为，所以.

因为，所以，.

因为，，于是，故，

又，所以平面.

（2）由（1）可知，，

又四边形为平行四边形，所以四边形是菱形.

由，可得，是边长为2的正三角形，

，所以三角形的面积为.

同理可得.

所以.

因为平面，所以.