Question

已知是定义在上的奇函数，且.

（1）求的解析式；

（2）判断的单调性，并证明你的结论；

（3）解不等式 .

Answer

（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据题意，由奇函数的性质可得，又由，可得的值，代入函数的解析式即可得答案；
（2）设，由作差法分析与的大小关系，结合函数单调性的定义，即可得结论；
（3）利用函数的奇偶性以及单调性，可以将转化为，解可得的取值范围，即可得答案．

（1）∵是上的奇函数，

∴，

∴，

又∵，

∴，解得，

∴；

（2）在上单调递增，

证明：任意取，且，则

，

∵，

∴，，，，

∴，即，

∴在上单调递增；

（3）∵，

∴，

易知是上的奇函数，

∴，

∴，

又由（2）知是上的增函数，

∴，

解得，

∴不等式的解集为.