Question

已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立.

（1）判断在上的单调性；

（2）解不等式；

（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）在上单调递增；（2）；（3）.

【解析】

（1）可假设，且，计算，然后变形判断符号，可得结果.

（2）根据函数单调性以及定义域，可得，然后计算，可得结果.

（3）利用等价转化思想，可得，然后构造函数，根据一次函数的图象与性质，可得结果.

（1）在上单调递增.

任取，且，则.

∵为奇函数，

∴.

由已知得，

又，

∴，即，

∴在上单调递增.

（2）由（1）可知：在上单调递增

所以

所以解集为：

（3）∵，且在上单调递增，

∴在上，.

问题转化为，

即，对成立.

设，

即得或或

综上所述：

实数的取值范围是.