Question

已知二次函数的最小值为-1，且关于的方程的两根为0和-2.   

（1）求函数的解析式；

（2）设其中，求函数在时的最大值；

（3）若（为实数），对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据方程的根，以及二次函数的性质即可求函数的解析式（2）求出的表达式，结合二次函数的图象和性质，即可求函数在时的最大值（3）求出函数的值域，利用函数与方程之间的关系即可得到结论．

（1）0，2是方程的两根，

，，

又最小值即，

∴，，，

所以.

（2），.

分以下情况讨论，的最大值.

（1）当时，在上是减函数，

.

（2）当时，的图像关于直线对称，

∵，

故只需比较与的大小.

当时，即时，

，

.

当时，即时，

，

；

综上所得.

（3），

函数的值域为，

在区间上单调递增，故值域为，

对任意，

总存在使得成立，

即，

解得.