Question

已知常数，函数.

(1)若，解方程；

(2)设函数.若在上单调递减，求的取值范围；

(3)设集合的元素个数为，求关于的函数在表达式.

Answer

（1）；（2）.（3）见解析

【解析】

（1）方程化为同底的对数式，转化为真数相等，求解一元二次方程，验证真数大于0，即可求解；

（2）根据二次函数的单调性，求出在单调递减，且恒大于零，即可求出结论；

（3），分离参数化为，换元令，转化为，讨论与交点情况，即可求解.

（1）当时，方程化为，

，

等价于，

解得或（舍去），

所以所求的方程解为5；

（2）在上单调递减，

须，解得，

的取值范围为；

（3）当时，，

，，换元令，

，

①当时，；

②当，即时，；

③当，即时，；

④当，即时，；

⑤当时，，；

综上，.