Question

已知函数，的定义域分别为，若存在常数，满足：①对任意，恒有，且.②对任意，关于的不等式组恒有解，则称为的一个“型函数”.

(1)设函数和，求证：为的一个“型函数”；

(2)设常数，函数，.若为的一个“型函数”，求的取值范围；

(3)设函数.问：是否存在常数，使得函数为的一个“型函数”？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

(1)证明见解析；(2)；(3).

【解析】

（1）由，恒成立，①成立，根据解析式，为不等式组的一个解，得②成立，即可证明结论；

（2）为的一个“型函数”，满足①对任意，求出的范围，②对任意，关于的不等式组恒有解，

转化为求函数的最值，可求出的范围，即可求解；

（3）由为的一个“型函数”，与（2）同理，将同时满足①②条件的参数求出，即可求解.

（1）①，

当，

任意，且，

②，，

因为，

为不等式的一个解，

所以为的一个“型函数”；

（2）①对任意，

，

；

②对任意，关于的不等式组恒有解，

，即，

因为关于的不等式组恒有解，所以，

恒成立，；

综上，；

（3）①对任意对任意，

，

；

②对任意，关于的不等式组恒有解，

，

考虑，

令，

则，

由于在时，单调递增，

或（舍去），

由，记方程的根为，

若，则，

即为不等式组的一个解，

若，取且，

，

综上，.