Question

如图，已知椭圆的焦点和上项点分别为，我们称为椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比. 若椭圆，直线

已知椭圆与椭圆是相似椭圆，求的值及椭圆与椭圆相似比；

求点到椭圆上点的最大距离；

如图，设直线与椭圆相交于两点，与椭圆交于两点，求证:.

Answer

（1）,相似比为（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）利用两个椭圆的特征三角形的底边长和高,由相似可得和相似比；

（2）设椭圆上一点为,利用两点间距离公式求解,将代入,得到关于的二次函数,进而求解即可；

（3）分别联立直线与两椭圆方程,利用韦达定理得到两交点的横坐标的关系,再利用中点公式求得中点坐标,验证是否重合,即可得证

（1）解:由题,设椭圆的焦距为,椭圆的焦距为,

因为椭圆与椭圆是相似椭圆,所以,即,解得或（舍）,

此时相似比为

（2）解:设椭圆上一点为,则,

因为,

所以,

因为,所以当时,,

所以点到椭圆上点的最大距离为

（3）证明:直线不与轴垂直,设,,线段的中点,

联立,消去可得,

所以,则,

设,,线段的中点,

联立,消去可得,

所以,则,

故线段,的中点重合,

所以