Question

已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交所得弦长为，求直线的斜率；

（3）过点的任意直线与椭圆交于、两点，设点、到直线：的距离分别为.若，求的值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上，建立方程组求解；

（2）联立方程，结合弦长可求直线的斜率；

（3）把转化为坐标间的关系，结合韦达定理可求.

（1）由题意，则方程化为，

因为点在椭圆上，所以，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，

联立得，

设直线与椭圆相交于，

则，，

，

解得，故直线的斜率为.

（3）当直线的斜率不存在时，恒成立；

当直线的斜率为0时，由得，即；

当直线的斜率存在且不为0时，设，.

联立得，

设，不妨设，

则，，

因为，所以，即，

整理可得，

解得.

综上可得.