Question

已知动圆过点，并且与圆：相外切，设动圆的圆心的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）过动点作直线与曲线交于两点，当为的中点时，求的值；

（3）过点的直线与曲线交于两点，设直线：，点，直线交于点，求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标.

Answer

（1）；（2）4；（3）证明见解析，定点的坐标为.

【解析】

（1）利用动圆经过的点及外切关系可求；

（2）设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到，进而可求；

（3）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线经过定点.

（1）设动圆的圆心，半径为，则由题意可得，即，

因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且，

所以曲线的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，，此时；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，

联立得，

，，

.

因为为的中点，所以，代入曲线方程得；

整理可得；

，

因为恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线的倾斜角为，

所以，所以.

综上可得.

（3）证明：当直线的斜率不存在时，,，直线经过点.

当直线的斜率存在时，设直线，，

直线，当时，，

，联立得，

，，

下面证明直线经过点，即证， ，

把，代入整理得，

即，

所以直线经过点.