Question

由郭帆执导吴京主演的电影《流浪地球》于2019年2月5日起在中国内地上映，影片引发了观影热潮，预计《流浪地球》票房收入47亿人民币，超过《红海行动》成为中国影史票房亚军，仅次于《战狼2》.某电影院为了解该影院观看《流浪地球》的观众的年龄构成情况，随机抽取了40名观众，将他们的年龄分成7段：，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试求这40名观众年龄的平均数、中位数、众数；

（2）（i）若从样本中年龄在50岁以上的观众中任取3名赠送VIP贵宾观影卡，求这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率；

（ii）该电影院决定采用抽奖方式来提升观影人数，将《流浪地球》电影票票价提高20元，并允许购买电影票的观众抽奖3次，中奖1次、2次、3次分别奖现金元、元，元.设观众每次中奖的概率均为，若要使抽奖方案对电影院有利，则最高可定为多少元？（结果精确到个位）

Answer

(1)37,35,35

(2)(i) ,(ii)37

【解析】

（1）根据频率分布直方图的数据，以及平均数、中位数、众数的计算公式即得解；

（2）(i)根据频率分布直方图得到样本中50岁以上的观众人数，以及不低于70岁的观众人数，利用超几何概型即得解；

（ii）由题意知服从二项分布，利用二项分布的概率公式即得解.

平均数

，

前三组的频率之和为：0.15+0.20+0.30=0.65,

故中位数落在第3组，设中位数为x，则

即中位数为35，第三组的频率最大，故众数为35.

（2）(i)由频率分布直方图年龄在50岁以上的观众共有名，年龄不低于70岁的观众有2名，记事件A为“这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率”，则：

.

(ii)设观众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能取得值为：（单位：元）, 表示顾客三次抽奖都没有获奖.

所以：，

观众在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：

令

所以x最高定价为37元时，才能使得抽奖方案对电影院有利.