Question

已知直线过点和椭圆：的焦点且方向向量为，且椭圆的中心关于直线的对称点在直线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点的直线交椭圆于点、，且满足（为原点）？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）;

(2)

【解析】

（1）根据椭圆的中心关于直线的对称点在直线上得到： ，焦点坐标为，联立即得解；

（2）转化为：，得到

，设直线m，与椭圆联立，表示，即可求解得到直线m的方程.

（1）直线，过原点垂直于l的直线方程为：

联立解得：

因为椭圆的中心关于直线的对称点在直线上，

又直线l过椭圆的焦点，因此焦点坐标为，

因此椭圆的方程为：

（2）设，当直线不垂直于x轴时，直线m的方程为：

，直线与椭圆联立整理得：

当直线m垂直于x轴时，也满足，

故m得方程为：