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已知直线过点和椭圆:的焦点且方向向量为,且椭圆的中心关于直线的对称点在直线上. ...

已知直线过点和椭圆的焦点且方向向量为,且椭圆的中心关于直线的对称点在直线.

1)求椭圆的方程;

2)是否存在过点的直线交椭圆于点,且满足为原点)?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.

 

(1); (2) 【解析】 (1)根据椭圆的中心关于直线的对称点在直线上得到: ,焦点坐标为,联立即得解; (2)转化为:,得到 ,设直线m,与椭圆联立,表示,即可求解得到直线m的方程. (1)直线,过原点垂直于l的直线方程为: 联立解得: 因为椭圆的中心关于直线的对称点在直线上, 又直线l过椭圆的焦点,因此焦点坐标为, 因此椭圆的方程为: (2)设,当直线不垂直于x轴时,直线m的方程为: ,直线与椭圆联立整理得: 当直线m垂直于x轴时,也满足, 故m得方程为:
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