Question

已知函数，其中为实数.

（1）试确定函数的奇偶性；

（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；

（3）若函数在区间上有唯一的零点，求的取值范围.

Answer

（1）当时，偶函数；当时，奇函数；当且时，无奇偶性；（2）；（3）

【解析】

（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断的关系即可；

（2）由函数在区间上单调递增，则当当时，

恒成立，求的范围即可；

（3）令，则函数在区间上有唯一的零点等价于方程在区间上有唯一实根或两个相等实根，再求解即可.

【解析】
（1）函数的定义域为，

当时，，从而，

所以函数为偶函数.

当时，，从而，

所以函数为奇函数.

当且时，

因为，

所以函数不是奇函数；

因为，

所以函数不是偶函数.

综上，当时，函数为偶函数；

当时，函数为奇函数；

当且时，函数无奇偶性.

（2）因为函数在区间上单调递增，

所以对任意的，当时，

.

又因为为单调递增函数，，即，

所以，由，

故的取值范围为.

（3）函数

，

令，则，

由函数在区间上有唯一的零点，

知函数在区间上有唯一的零点，

即方程在区间上有唯一的实根，

故方程在区间上有唯一实根或两个相等实根，

当时，有唯一实根1，不适合.

当时，由在区间上有唯一实根或两个相等实根，

知在区间上有唯一的零点，

当时，得，即两个零点为和，不适合；

当时，不存在.

当，即时，有唯一的零点2，不适合；

当时，，即，适合.

综上，的取值范围为.