Question

已知函数f（x）=1-（a＞0且a≠1）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．

（1）求a的值；

（2）证明：函数f（x）在定义域（-∞，+∞）内是增函数；

（3）当x∈（0，1]时，tf（x）≥2^x-2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）a=2（2）见解析（3）[0，+∞）．

【解析】

（1）由于为上的奇函数，利用性质，即可求出的值.

（2）利用定义法即可证明的单调性.

（3）利用分离参数法，然后构造函数，利用换元法，结合其单调性，即可求出最大值，从而求出的范围.

【解析】
（1）函数（且）是定义在上的奇函数，

，解得：，经检验满足.

（2）证明：设为定义域上的任意两个实数，且，则

又，

；

，即；

∴函数在定义域内是增函数；

（3）由（1）得，当时，；

∴当时，恒成立，

等价于对任意的恒成立，

令，即；

当时成立，即在上的最大值，

易知在上单增

∴当时有最大值，

所以实数的取值范围是．