Question

已知集合.

（1）判断是否属于；

（2）判断是否属于；

（3）若，求实数的取值范围.

Answer

（1）f(x)M； （2）f(x)M；（3）.

【解析】

（1）f（x），令f（x+1）＝f（x）f（1）⇒，该方程无实数解，从而知函数f（x）不属于集合M；

（2）令f（x+1）＝f（x）f（1），依题意可求得2x+2 x 2-2 x -1=0，构造函数g（x）＝2x+2 x 2-2 x -1=0，利用零点存在定理即可证得结论；

（3）依题意可求得，设2x＝t＞0，2 t 2+（4 a +2）t+ a 2=0有正根，从而可求得a的取值范围．

（1）由题意，f(x)f(1)=，f(x+1)=

∵无解， ∴ f(x)M ；

（2）∵f(x)f(1)=(2x+x2)(21+12)=3(2 x +x2),f(x +1)=2 x +1+( x +1)2

令3(2 x +x2)= 2 x +1+( x +1)2

即2x+2 x 2-2 x -1=0……（*），

令g(x)= 2x+2x2-2x-1

∵

∴存在，满足

∴f(x)M .

（3）∵

所以方程有解

即

整理得，222x+（4a+2）2x + a 2=0

令t =2 x (t>0)

∴2 t 2+（4 a +2）t+ a 2=0有正根，

令h(t)= 2t 2+（4 a +2）t + a 2

∵h(0)≥ 0，

∴

解得

所以的取值范围是.