如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线...

如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .

【解析】中，因为，所以. 由余弦定理可得，所以. 设，则，. 在中，由余弦定理可得 . 故. 在中，，. 由余弦定理可得，所以. 过作直线的垂线，垂足为.设则，即，解得. 而的面积. 设与平面所成角为，则点到平面的距离. 故四面体的体积 . 设，因为，所以. 则. （1）当时，有，故. 此时， . ，因为，所以，函数在上单调递减，故. （2）当时，有，故. 此时， . 由（1）可知，函数在单调递减，故. 综上，四面体的体积的最大值为.

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考点分析：

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鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）__________．