Question

如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛道的中部分为长千米的直线跑道，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．

 

（1）求的值和的大小；

（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值．

Answer

（1）， ；（2）.

【解析】

试题

（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值．

试题解析：

(1)由条件得.

∴.

∴曲线段的解析式为.

当时，.

又，

∴,

∴.

(2)由(1)，可知.

又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.

设,,“矩形草坪”的面积为

.

∵，

∴,

故当，即时，取得最大值．