Question

如图，四棱锥中，，平面平面，，为的中点.

（1）求证://平面；

（2）求点到面的距离

（3）求二面角平面角的正弦值

Answer

（1）见详解；（2）；（3）

【解析】

（1）通过取中点，利用中位线定理可得四变形为平行四边形，然后利用线面平行的判定定理，可得结果.

（2）根据,可得平面，可得结果.

（3）作，作，可得二面角平面角为，然后计算，可得结果.

（1）取中点，连接，如图

由为的中点，所以//且

又，且，

所以//且，

故//且，

所以四变形为平行四边形，故//

又平面，平面

所以//平面

（2）由，平面

平面平面，

平面平面

所以平面，又平面

所以，由，

所以为正三角形，所以

则平面

所以平面，且

所以点到面的距离即

（3）作交于点，

作交于点，连接

由平面平面，平面平面

平面平面，

所以平面，平面，

所以，又

平面，所以平面

又平面，所以

所以二面角平面角为

，又为等腰直角三角形

所以，所以

所以

又二面角平面角为

故

所以二面角平面角的正弦值为