Question

已知函数，其中，是非空数集且.设，.

（1）若，，求；

（2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由；

（3）若且，，单调递增，求集合，.

Answer

（1）；（2）存在，3；（3），，其中或，，其中或，，或，

【解析】

（1）依题意分别表示时的值域，结合的图像和性质和二次函数的图像和性质分别求出此分段函数两支上的值域，即可得出结论；

（2）抓住线索，逐层深入，先判断，得的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定的值；

（3）根据函数的单调性，可得，再证明在上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合.

（1），

，

；

（2）若则，不合题意，

从而，

，得.

若，则，

的原象且，

，矛盾.

，此时可取，满足题意.

（3）是单调递增函数，对任意，

，同理可得：.

若存在，使得则，

于是，记，

，同理可知，由，

得，

，

对于任意，取

中的自然数，则

综上所述，满足条件的必有如下表示：

，其中，

或，其中，

或，或.