Question

已知圆（为坐标原点），直线.

（1）过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值.

（2）过点的直线分别与圆交于点（不与重合），若，试问直线是否过定点？并说明理由.

Answer

（1）12；（2）过定点，理由见解析

【解析】

（1）由，得过点的切线长，所以四边形的面积为，即可得到本题答案；

（2）设直线的方程为，则直线的方程为.

联立方程，消去，整理得，

得，，

所以，令，即可得到本题答案.

（1）由题意可得圆心到直线的距离为，从而，

则过点的切线长.

故四边形的面积为，即四边形面积的最小值为12.

（2）因为，所以直线与直线的斜率都存在，且不为0.

设直线的方程为，则直线的方程为.

联立方程，消去，整理得

解得或，则.

同理可得.

所以.

令，得，解得.

取，可以证得，所以直线过定点.

当时，轴，易知与均为正三角形，直线的方程为，也过定点.

综上，直线过定点.