Question

如图，长方体ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，点E在棱AA₁上，BE⊥EC₁.

（1）证明：BE⊥平面EB₁C₁；

（2）若AE=A₁E，求二面角B–EC–C₁的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；

（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.

证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以

又，，平面，因此平面；

（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

因为，所以，

所以，，

设是平面的法向量，

所以，

设是平面的法向量，

所以，

二面角的余弦值的绝对值为，

所以二面角的正弦值为.