Question

已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）设直线和的斜率分别为和，求证:为定值.

Answer

（1） （2） （3）证明见解析

【解析】

（1）根据离心率和代入椭圆方程可求得和，进而求得，方程可得；

（2）由题意显然直线方程为，联立直线与椭圆的方程消去得.因为直线与椭圆交于不同的两点，，∴，可得，再用坐标表示出，即可求取值范围.

（3）由（2）用坐标表示出化简即可.

（1）由题意得，解得，.∴椭圆的方程为.

（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

由得. 

∵直线与椭圆交于不同的两点，，

∴，解得.

设，的坐标分别为，，则，，

又，，

，

∵，∴，

∴的范围为.

（3）由（2）得

所以为定值，