Question

已知定义在上的函数和数列满足下列条件:，当且时，且，其中均为非零常数.

（1）数列是等差数列，求的值；

（2）令，若，求数列的通项公式；

（3）证明:数列是等比数列的充要条件是.

Answer

（1）1（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）由题意知，，得，再由等差数列，即可求解值；

（2）由，可得，因此，由此可知，数列是一个公比为的等比数列.

（3）先进行充分性证明：若则数列是等比数列；再进行必要性证明：若数列是等比数列，则.

（1）由已知，，

得，

由数列是等差数列，得，

所以，，，

得.

（2）由，可得，

且当时，

，

所以，当时，，

因此，数列是一个公比为的等比数列.

故通项公式为

（3）是等比数列的充要条件是，

充分性证明:若，则由已知，

得，所以，是等比数列.

必要性证明:若是等比数列，由（2）知，，

，

.

当时，.上式对也成立，

所以，数列的通项公式为:.

所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列.

所以，.

当时，. 上式对也成立，

所以，.

所以，.

即，等式对于任意实数均成立.

所以.