Question

已知圆

(1)求过点的圆的切线方程；

(2)点为圆上任意一点，求的最值．

Answer

(1) 和 (2)的最大值为；的最小值为

【解析】

(1)本题首先可以确定圆的圆心以及半径，然后根据题意分为直线斜率存在以及不存在两种情况，最后根据圆心到切线距离等于半径即可列出算式并得出结果；

(2)本题首先可明确为原点到圆上一点的直线的斜率，然后结合图像得出当圆与直线相切时斜率取最值，最后根据圆心到切线距离等于半径即可得出结果．

(1)因为圆的方程为，即，

所以圆心为，半径为，

①当切线斜率不存在时，

因为直线过点，所以直线方程为，即

圆心到直线距离，所以直线是圆的切线，

②当切线斜率存在时，设切线斜率为，

则切线方程为，即

因为圆心到切线距离等于半径，

所以，解得，此时切线方程为，

综上所述，过点的圆的切线方程为和．

(2)因为即，为圆上任意一点，

所以即原点到圆上一点的直线的斜率，

令，则原点到圆上一点的直线的方程为，即

如图所示，当圆与直线相切时，斜率取最值，

则有圆心到切线距离等于半径，即，解得或，

所以斜率的最大值，斜率的最小，

所以的最大值为；的最小值为．