Question

.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱，，是的中点，交于点．

（1）证明//平面；

（2）证明⊥平面；

（3）求.

Answer

（1）（2）证明见解析，（3）

【解析】

试题欲证线面平行，可现寻求线线平行，连接，交于，连接，由中位线定理知：，则平面.第二步证明线面垂直，需寻求线线垂直，因，是的中点，则，下面证明：由于侧棱，则，又，有平面，从而，因，平面PCB，则，又由已知，则⊥平面，第三步，先求三角形的面积，又因为垂直平面，

为棱锥的高，最后求出体积.

试题解析：（1）连接，交于，连接，因为分别为的中点，由中位线定理知：，平面，平面，则平面

（2），是的中点，则，又因为侧棱，平面ABCD，则，又，，有平面，平面，从而，因，平面，，则，又由已知，，则⊥平面.

（3）,,计算，

，，