Question

如图,在平面直角坐标系中,己知抛物线的焦点为,点是第一象限内抛物线上的一点,点的坐标为

（1）若,求点的坐标;

（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;

（3）弦经过点,过弦上一点作直线的垂线,垂足为点,求证:“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.

Answer

（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）因为点是第一象限内抛物线上的一点,且,设,

则 即可求得答案;

（2）设,由,,可得:,,因为 ,可得,结合已知,即可求得答案;

（3）因为过点,设为:,点,点,其中点,可得:,联立直线与抛物线得,结合已知条件,根据充要条件定义,即可求得答案.

（1）点是第一象限内抛物线上的一点,且

设,

则

解得:,即.

（2）设,由,

可得:,

①

又等腰,得点在轴投影为、中点,即:.

将,代入①得:,(舍去)

点坐标为.

（3）过点

设为:,点,点,其中点,

可得:

联立直线与抛物线得,消掉

可得:

根据韦达定理可得:

设点处抛物线得切线为

联立直线与抛物线得:,消掉

可得:

,可得:

过处切线方程为

化简得

求切线与直线得交点

可得

轴,

与相切时,为中点

以上各步骤,均可逆

“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“为弦的中点”.