Question

己知无穷数列的前项和为,若对于任意的正整数,均有,则称数列具有性质.

（1）判断首项为,公比为的无穷等比数列是否具有性质,并说明理由;

（2）己知无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,求证:;

（3）己知,数列是等差数列,,若无穷数列具有性质,求的取值范围.

Answer

（1）答案见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）因为首项为,公比为的无穷等比数列,即可,求和,即可求得答案;

（2）因为无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,满足周期性,且,可得,因为具备性质,故满足:,,采用反证法证明,即可求得答案;

（3）数列是等差数列,可得的前项和为:,因为前项和为:,由具备性质,则其中中包含项奇数项,项偶数项,结合已知,即可求得答案.

（1）首项为,公比为的无穷等比数列

根据等比数列前项和公式可得:

,

数列满足具有性质.

（2）无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等

满足周期性,且

可得

具备性质

满足:,

利用反正法证明:

若,则,

令

得:(注:当时,,则当时,)

与矛盾.

,

又,

.证明完毕.

（3）数列是等差数列

的前项和为:,

前项和为:

由具备性质,

则

其中中包含项奇数项,项偶数项,

有:

其中中包含项奇数项,项偶数项,

故:

由性质

可得,对任意成立

、满足:,解得:

.