Question

已知函数与函数的图象有两个不同的公共点、.

（1）求实数的取值范围；

（2）设点是线段的中点，证明：.

Answer

（1）；（2）证明见详解.

【解析】

（1）利用函数与方程的思想将问题转化为函数的零点个数问题，然后构造函数利用分类讨论的方法求解出参数的取值范围；

（2）采用分析法证明，推导出证明即可，然后构造新函数，分析的单调性和值域即可完成证明.

（1）因为有两个不同的交点，所以有两个不同的根，

所以有两个不同的根，所以有两个不同的根，

设，则有两个不同的零点，又，

当时，，所以仅有一个零点，不符题意；

当时，时，时，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

且，当时，，

所以存在使得，存在使得，所以有两个不同的零点，满足题意；

当时，时，，令，则，

若时，，所以在上单调递减，在上递增，在上单调递减，

又因为当时，，且，

所以当时，，故至多仅有一个零点，不符题意；

若时，，当时，当时，

所以在上单调递减，所以至多仅有一个零点，不符合题意；

若，，所以在上单调递减，在上递增，在上单调递减，

又因为当时，，且，

所以当时，，故至多仅有一个零点，不符题意.

综上可知：；

（2）设的两个零点为且，

因为在上单调递减，在上单调递增，所以，

要证，只需证，只需证，

又因为，所以且在上单调递减且，

故只需证，只需证（*）；

设，

所以，

所以，

所以，

当时，，所以，

所以在上单调递增，所以，

所以，所以（*）成立，

所以原不等式成立即成立.