Question

如图，是菱形，对角线与的交点为，四边形为梯形，，．

（1）若，求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）若，求直线与平面所成角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）取的中点，连接，，从而可得为平行四边形，即可证明平面；

（2）只需证明平面．即可证明平面平面；

（3）作于，则为与平面所成角，在中，由余弦定理得即可．

（1）证明：取的中点，连接，，

∵是菱形的对角线，的交点，

∴，且，

又∵，且，

∴，且，

从而为平行四边形，

∴，

又平面，平面，

∴平面；

（2）∵四边形为菱形，∴，

∵，是的中点，∴，

又，∴平面，

又平面，

∴平面平面；

（3）作于，

∵平面平面，

∴平面，

则为与平面所成角，

由及四边形为菱形，得为正三角形，

则，，，

∴为正三角形，从而，

在中，由余弦定理，

得，

∴与平面所成角的余弦值为．