Question

已知函数（，，为常数），当时，只有一个实根；当时，只有3个相异实根，现给出下列4个命题：

①和有一个相同的实根；

②和有一个相同的实根；

③的任一实根大于的任一实根；

④的任一实根小于的任一实根.

其中真命题的序号是______.

Answer

①②④

【解析】

根据方程根的分布情况，绘制出三次函数的图像，然后根据三次函数图像与直线的交点情况判断命题是否为真命题.

由题中条件可以推出，函数的极大值为，极小值为，

函数的图像先增加后减小再增加，绘制出函数的图像如下图所示，

对于命题①，②，根据的图像在极值点处的，

发现分别与，有一个相同的实数根，

故命题①，②为真命题，

对于命题③，根据的图像与直线，和的交点，

在函数单调递减区间的交点不满足命题，

故命题③为假命题，

对于命题④，根据的图像与直线，和的交点，

可知交点满足命题，故命题④为真命题.

故答案为：①②④.