Question

已知函数.

（1）求函数在上的最大值；

（2）证明：当时,.

Answer

(1)；(2)详见解析.

【解析】

（1）首先求出函数的导数，解不等式，，结合题中所给的区间，研究函数的单调性，从而求得函数在给定区间上的最大值；

（2）不等式即为，化简得，因为得，令，求导研究函数的单调性，从而证得结果.

（1），

令，解得，令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

且，，

所以函数在上的最大值为；

（2）由可得，

即，因为，所以，

令，得，当时，可得，从而有，

所以在上是增函数，

所以，从而有恒成立，

即原命题得证，

故：当时,.