Question

已知

（1）讨论函数的单调性； 

（2）若对任意，不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）将不等式转化为，令，可得，从而可以得到当函数在是减函数时一定成立，求得的范围，再说明其他情况不成立，从而求得结果.

（1）因为，

所以，

当时, ，在上单调递减;

当时,由，

解得在上单调递减,

令，解得在上单调递增;

当时,令 ，解得在上单调递减,

令，解得在上单调递增;

当时, 令 ，解得在上单调递减,

令，解得在上单调递增;

（2）由得，

令，且，

所以当函数在上是减函数时一定成立，

即在上恒成立，

因为，，所以在上恒成立，解得，

当时，令可得，

从而可得在上单调递增，在上单调递减，

所以，不等式不恒成立，不满足条件，

当时，在上恒成立，此时，不合题意，

综上所述，可得的取值范围是.