Question

如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点.

(1)求证:直线平面；

(2)求直线与平面所成角的余弦值；

(3)设为线段上任意一点，在内的平面区域(包括边界)是否存在点，使，并说明理由.

Answer

(1)见解析 (2)（3）存在点，使，详见解析

【解析】

(1)设与的交点为，证明进而证明直线平面.

(2)先证明直线与平面所成角的为，再利用长度关系计算.

(3) 过点作，证明平面，即，所以存在.

(1)设与的交点为，显然为中点，又点为线段的中点，所以，

平面，平面，

平面.

(2) 平面，平面,

，

，平面，平面，

平面，点在平面上的投影为点，直线与平面所成角的为，

，，，

.

(3)过点作，又因为平面，平面，所以，

平面，平面，

平面，

，所以存在点，使.