Question

如图，三棱柱的侧面是边长为2的菱形，，且.

（1）求证：；

（2）若，当二面角为直二面角时，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）连结，交于点，连结，推导出，又，从而面，进而，推导出，由此能得到结论；

（2）由题意，可证得是二面角的平面角，进而得，进而计算得，进而利用棱锥的体积公式计算即可.

（1）连结，交于点，连结，

因为侧面是菱形，所以，

又因为，，所以面

而平面，所以，

因为，所以，

而，所以，

故.

（2）因为，为的中点，则，

由（1）可知，

因为，所以面，

作，连结，

由（1）知，所以且

所以是二面角的平面角，依题意得，，

所以，

设，则，，

又由，，

所以由，解得，

所以.