Question

如图， 中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由，分别为，边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由已知证明平面，过作交于，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．

（1）因为分别为，边的中点，

所以，

因为，

所以，，

又因为，

所以平面，

所以平面．

（2）取的中点，连接，

由（1）知平面，平面，

所以平面平面，

因为，

所以，

又因为平面，平面平面，

所以平面，

过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则， ，．

，，

设平面的法向量为，

则即

则，

易知为平面的一个法向量，

，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值．