Question

若函数在时，函数值y的取值区间恰为[]，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求函数在内的“倒域区间”；

（Ⅲ）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数=的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题（1）运用奇偶性得出；（2）得出方程组问题

（3），利用方程思想求解，m应当使方程，在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数

试题解析：（Ⅰ）当时，

（Ⅱ）设1≤＜≤2，∵在上递减，

∴整理得

，解得．

∴在内的“倒域区间”为．

（Ⅲ）∵在时，函数值y的取值区间恰为，其中

∴，∴同号．只考虑0＜＜≤2或－2≤＜＜0

当0＜＜≤2时，根据的图像知，最大值为1，，

∴1≤＜≤2，由（Ⅱ）知在内的“倒域区间”为；

当－2≤＜＜0时间，最小值为-1，，

∴，同理知在内的“倒域区间”为．

依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，应当使方程，在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数

由方程在内恰有一根知；

由方程在内恰有一根知，

综上：＝－2．