Question

函数的定义域为，且满足对于定义域内任意的，都有等式

（1）求的值；

（2）判断的奇偶性并证明；

（3）若在上是增函数，解关于的不等式.

Answer

（1），；（2）偶函数，证明见解析；（3）且

【解析】

(1)令代入题中所给等式即可求出，令，代入题中所给等式可求出；(2)首先函数的定义域关于原点对称且，得证；(3)由函数的奇偶性将不等式化为，再利用函数的单调性求解不等式即可.

（1）令，得

∴；

令，得

∴

（2）∵函数的定义域为，

∴为偶函数

（3）不等式

∵在上是增函数，且是偶函数

∴原不等式可化为

,解之得：且.

所以原不等式的解集为.