Question

已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对一切，都有成立.

Answer

（1）递增区间是，递减区间是；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；

（2）对一切，恒成立等价于对一切恒成立，利用导数可得的最小值为，从而可得结果；

（3）原不等式等价于即，由（1）可得的最大值为，利用导数可证明的最小值为，从而可得结论.

（1），得由，得

∴的递增区间是，递减区间是.

（2）对一切，恒成立，可化为对一切恒成立，

令， =，

当时，，即在递减；

当时，，即在递增，∴，

∴，即实数的取值范围是.

（3）证明：等价于，即

由（1）知，（当时取等号）

令，则，易知在递减，在递增

∴（当时取等号）

∴对一切都成立，则对一切，都有成立.