Question

如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面.

（1）求证: 是的中点；

（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

(1) 见解析;(2).

【解析】

试题(1)连交于可得是中点，再根据面可得进而根据中位线定理可得结果；(2)取中点，由（1）知两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴,轴，轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，用表示面的一个法向量，由可得结果.

试题解析：(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.

(2)取中点，由（1）知两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴，

轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为.

设存在满足要求，且，则由得：，面的一个法向量为，面的一个法向量为，由，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.