Question

已知椭圆的离心率，右焦点，过点的直线交椭圆于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点关于轴的对称点为 ，求证: 三点共线；

(3) 当面积最大时，求直线的方程.

Answer

(1) ;(2)见解析;(3).

【解析】

试题(1)根据离心率可求得的值，从而可求得的值，进而可得结果；(2) 设，只需用平面向量坐标法证明即可得结论；（3）设直线的方程为，根据韦达定理、弦长公式、三角形面积公式将面积表示为关于的函数式，换元后根据配方法求最值，取得最值时可以确定的值，进而可得结果.

试题解析：(1) 由，椭圆的方程是.

(2)由（1）可得，设直线的方程为. 由方程组，得，依题意，

得.设，则，由

，得三点共线.

(3)设直线的方程为. 由方程组，得，依题意，得.设，则

，令，则，即

时，最大，最大时直线的方程为.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用配方法法求三角形最值的.