Question

已知函数

（1）证明：对任意的，，都有；

（2）设，比较与的大小，并说明理由..

Answer

（1）证明见解析；（2），理由见解析.

【解析】

(1)分别对不等式两段构造函数，利用导数研究两函数的单调性和最值，证明成立即可；

(2) 先等价化简，再作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可判定

（1）证明：因为，故在上是单调递增的，

在上是单调递减的，，，

设，则，

故在上是单调递增的，在上是单调递减的，故，

，

所以对任意的，恒成立；

（2）【解析】
，

且，

，，故只需比较与的大小，

令（），设

则，

因为，所以，所以函数在上是增加的，

故，所以对任意恒成立，

即，

从而有.