Question

已知向量，，函数满足，且在区间上单调，又不等式对一切恒成立.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间的零点为，求的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

(1)根据利用向量数量积公式与正弦的和角公式化简,再根据题意可得的对称轴与对称中心等.同时利用在区间上单调求出关于周期的不等式,继而求得解析式.

(2)将题意转换为函数的图象与的图象在区间上有100个交点.再利用函数的对称点分析求解即可.

（1）

因为,所以是函数的一个对称中心,

由,得为函数的一条对称轴,

所以,即

所以.

又因为函数在区间上单调,所以,

即,又,所以.

又因为所以又所以.

所以.

（2）由题意,方程在区间上有100个实根,

即函数的图象与的图象在区间上有100个交点.

由得,

所以为函数的图象的一个对称中心.

易知也是函数的图象的对称中心,

所以与的图象交点成对出现,且每一对均关于点对称,

所以. ,

所以=.