Question

已知函数（且）是定义在上的奇函数.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）判断并用定义证明的单调性；

（Ⅲ）若，且成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；

（Ⅱ）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；证明见解析；

（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）由题意，由奇函数的特征得，利用对数的运算性质求实数的值；

（Ⅱ）设，且，利用作差法用定义证明的单调性；

（Ⅲ）由可得的范围，得函数的单调性，由利用奇偶性得，再根据单调性求实数的取值范围．

【解析】
（Ⅰ）由题意，

∵函数是定义在上的奇函数，

∴，即，

∴，即，

∴，又，∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

设，且，

则，

∵，∴，

∴，，∴，

∴当时，，即，在上单调递增；

当时，，即，在上单调递减；

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

（Ⅲ）由得，

∴，由（Ⅱ）知，在上单调递减，

由利用奇偶性得，

∴，解得，

综上：实数的取值范围是．